التصنيف: الصف الحادي عشر

إسم المشروع : المعدلات المرتبطــة بالزمن

عمل الطلاب

الفهرس:

الصفحة الأولى: الغلاف
.
الصفحة الثانية: المقدمة
.
الصفحة الثانية : تعريف المعدلات المرتبطة بالزمن ، وامور مهمة يجب ان يكون الطالب ملماً بها
.
الصفحات الثالثة: خطوات حل مسائل المعدلات المرتبطة بالزمن
.
الصفحة الرابعة: ملاحظات حول العلاقة الرئيسية والجانبية
.
الصفحات من 4 إلى 8 : مسائل متنوعة .

الصفحة العاشرة: الخاتــــــــــــــــمة
.
الصفحة الحادية عشر: المصادر والمراجع .

الــمـقـــــدمــــــــة:
بسم الله ، والصلاة والسلام على رسول الله ، المبعوث رحمة للعالمين ، ومعلماً للبشر أجمعين ، وهادياً إلى سبيل السداد والرشاد ، وبعد .

سوف نتحدث في هذا المشروع عن المعدلات المرتبطة بالزمن حيث يعتبر هذا الموضوع من التطبيقات المهمة على التفاضل وهو يتعلق بمواضيع من مثل (مسافات ، زوايا ، مساحات ، حجوم …..) وهي تتغير بمرور الزمن حيث يُعطى معلومات عن بعضها ويُطلب البعض الآخر.
وسوف نبين في هذا المشروع أهم الأمور التي يجب أن يكون الطالب ملماً بها قبل دراسة الموضوع و أهم الخطوات المتبعة في حل المسائل ، بالإضافة إلى عدة نماذج من أسئلة تتعلق بالمعدلات المرتبطة بالزمن ، وطريقة حلها بالتفصيل ، وعدة ملاحظات لنتعلم كيفية حل مثل هذه المسائل.

وأسأل الله أن يجعل عملي هذا خالصا لوجهه وأن ينفع إخواني الطلبة، وان يلقى قبولاً واستحساناً من المعلمين الأفاضل وان يحظى برؤيتهم التربوية، وبما يسهم في تطويره وتحديثه.

تعريف المعدلات المرتبطة بالزمن :
هي أي معادلة تتضمن متغيرين أو أكثر وتكونان قابلتين للاشتقاق بالنسبة إلى الزمن يمكن إن تستخدم لإيجاد معادلة تربط معدلاتها المناظرة بعضها .

مواضيع سابقة يجب أن يكون الطالب ملماً بها قبل بدأ شرح الموضوع :

-1 نظرية فيثاغورث.

-2 قانون المسافة بين نقطتين في المستوى
.
-3 قانون جيب التمام
.
-4 الاقترانات الدائرية وبعض المتطابقات
.
-5 المسطحات: تسميتها،قوانين المساحة والمحيط لكل منها
.
-6 المجسمات: تسميتها،قوانين الحجم والمساحة السطحية لكل منها.

– من المسطحات: الدائرة،شبه المنحرف،المثلث،المربع،المعين، من المجسمات: الكرة،المكعب،الهرم،المخروط،الاسطوانة

-7 تشابه المثلثات
.
-8 قانون الميل.

9 – زاوية الارتفاع ( محصورة بين خط البصر المرتفع والخط الأفقي عن العين )

-10 زاوية الانخفاض ( محصورة بين خط البصر المنخفض والخط الأفقي عن العين ) زاوية النظر( محصورة بين خطي بصر )

11 -زاوية الارتفاع والانخفاض تتشكل عند النظر الى نقطة، وزوايا النظر تتشكل عند النظر إلى منطقة(

الخطوات المناسبة لحل الأسئلة في هذا الموضوع
1- معرفة المتغيرات و الثوابت.

2- ترجمة المعلومات في السؤال إلى لغة رياضيات ( رموز , أعداد).

3- استخدام الرسم التوضيحي إن لزم الأمر.

4- تحديد المطلوب بدقة.

5- نكتب معادلة ( قانون رياضي ) تعبر عن العلاقة بين المتغيرات والثوابت وذلك مما نحفظه من قوانين رياضية… مثل قوانين المساحات , الحجوم , تشابه المثلثين , البعد بين نقطتين , نظرية فيثاغورث , نظرية جيب التمام , وظل الزاوية

6- نختزل المتغيرات في ا لمعادلة السابقة إلى متغيرين إن أمكن ذلك ( إن كانت المعادلة تحوي أكثر من متغيرين ) ويتم ذلك بإيجاد معادلة أخرى تجمع بين جزء المتغيرات والتعويض عن أحد المتغيرات بدلالة الآخر في العلاقة السابقة. ( أي معادلة جانبية إن لازم الأمر).

7- ثم نشتق المعادلة بعد اختزالها بالنسبة إلى الزمن.

8- يتم التعويض في المعادلة الناتجة عن الاشتقاق بالمعلومات المعطاة لإيجاد المطلوب .

ملاحظة : يجب أن تكون عملية التعويض بالأرقام المعطاة في الســـؤال بعد عملية الاشتقاق ولا تسبقها.

ملاحظات حول العلاقة الرئيسية و المعادلة الجانبية

-1 إذا كان المطلوب هو معدل تغير الزاوية فان العلاقة الرئيسية تكون نسبة مثلثيه .
-2 في المسائل التي فيها سؤال عن سوائل غالباً ما تكون العلاقة الرئيسية هي حجم السائل
.
-3 في مسائل المخروط غالبا ً ما تكون: العلاقة الرئيسية هي حجم السائل و العلاقة المساعدة هي تشابه مثلثات أو ظل زاوية رأس المخروط
.
-4 في مسائل السلم:غالباً ما نستخدم نظرية فيثاغورث كعلاقة رئيسية أو مساعدة .
5 – في المسائل التي يتكون فيها ظل لجسم بسبب حركته بالقرب من مصباح تكون العلاقة الرئيسية تشابه مثلثات
.
-6 في المسائل التي يتحرك فيها جسمان بشكل متعامد تكون العلاقة الرئيسية فيثاغورث
.
-7 في المسائل التي يتحرك فيها جسمان بشكل غير متعامد تكون العلاقة الرئيسية قانون جيب التمام
.
-8 في المسائل التي تتعلق بمنحنيات في المستوى الديكارتي تكون العلاقة المساعدة هي العلاقة الرياضية المعطاة بين x و y .

ملاحظة: النقاط أعلاه توجد في المسائل بشكل عام حيث يمكن وجود شواذ.

أسئلة متنوعة عن المعدلات المرتبطة بالزمن :
السؤال الاول : رجلان البعد بينهما 50 ft ، تحرك أحدهما نحو الشمال فكون زاوية حادة مع الرجل الاخر كما هو مبين في الشكل وهي تتغير بمعدل 0.01 rad/min ، ما هو مــــعدل تغـــير المسافة بين الرجلين عندما ؟
الحل :

هذا السؤال ليس بالصعب كما يتبين من النظرة الاولى ، حيث يمكننا ايجاد معدل تغير المسافة بإحدى العلاقتين التاليتين :
أو
يمكن ان نستعمل القانون الاول لإيجاد قيمة x حيث ان الزاوية في لحظة معينة معطاة في السؤال ثم نشتق ونستخرج المطلوب ، ولكن عند إستعمالنا للقانون الثاني فإننا لا نحتاج الى إيجاد قيمة x فنشتق مباشرة فتصبح المعادلة :

الان نعوض القيم بالمعادلة حيث ان قيمة الزاوية معطاة في السؤال ومعدل تغيرها معطى ويصبح الحل كالآتي:

الخلاصة : معدل تغير المسافة بين الرجلين هو 0.311254 ft/min

السؤال الثاني : مصدر ضوئي موضوع على الارض يبعد 20 ft عن حائط ، يمشي رجل طوله 6 ft تجاه الحائط بسرعة 2.5 ، ما معدل التغير في إرتفاع ظل الرجل عندما يبعد الرجل 8 ft عن الحائط ؟ وهل إرتفاع الظل يتزايد ام يتناقص ؟
الحل : دعنا نبدأ اولا برسم هذه الحالة حيث ان الرسم الناتج هو :

القيم المعلومة : قيمة x حيث انها تساوي 20 – 8 = 12 ft
إما قيمة فهي تساوي 2.5 وذلك لأن الرجل يتحرك نحو الحائط بسرعة 2.5 وهذا يعني بأنه يبتعد عن المصدر الضوئي بنفس السرعة .
المطلوب : إيجاد قيمة عندما يبعد الرجل 8 ft عن الحائط او عندما x=12 ؟
لإيجاد علاقة تربط بين القيم المعطاة والمطلوبة نستعمل قانون تشابه المثلثات اي أن المعادلة تصبح :

الان نشتق المعادلة ثم نعوض بالمعطيات لإيجاد المطلوب :

الخلاصة : معدل التغير في طول ظل الرجل هو حيث إنه يتناقص بمرور الزمن .

السؤال الثالث : شخصان على دراجة هوائية يبعدان عن بعضهما 350 m الشخص الاول A بدأ الحركة بسرعة 5 m/sec نحو الشمال وبعد 7 دقايق تحرك الشخص الثاني B نحو الجنوب بسرعة 3 m/sec ، ماهو معدل تغير المسافة بين الشخصين بعد مرور 25 دقيقة من بداية حركة الشخص الاول A ؟
الحل : نبدأ اولا برسم الحالة حيث ان الرسم الناتج هو : A x
x+y z
y
B
350
الان نريد إستخراج قيمة حيث ان ولكن نريد ان نستخرج قيمة بعدما تحرك الشخص A بدراجته لمدة 25 دقيقة والشخص الثاني B تحرك لمدة 25-7=18 دقيقة . الان نستخرج قيمة كل من x و y بعد تحويل الزمن بالثواني حيث أن :

ثم نستعمل نظرية فيثاغورس لإستخراج قيمة z حيث ان :

الان لحساب معدل تغير المسافة بين الشخصين نحتاج لإشتقاق المعادلة ( 1) ثم نعوض بالمعطيات لإيجاد المطلوب :

الخلاصة : معدل تغير المسافة بين الشخصين هو

السؤال الرابع : افترض ان هنالك جهازين كهربائيين مربوطين الى مقاومتين و على التوازي حيث ان المقاومة مقاسة بوحدة أوم ، المقاومة الكلية R معطاة بالمعادلة التالية :

افترض ان تزداد بمعدل 0.4 Ω/min و تتناقص بمعدل 0.7 Ω/min ، ما هو معدل تغير المقاومة الكلية R عندما و ؟
الحل: المعطيات :

المطلوب : إيجاد معدل التغير في المقاومة الكلية
الان نستخرج قيمة R من المعادلة الرئيسية حيث إن :

الان نشتق المعادلة الرئيسية حيث ان :

الان نعوض بالمعطيات لإيجاد المطلوب أي:

الخلاصة : معدل تغير المقاومة الكلية يساوي

الخاتمة :
في نهاية المشروع أرجوا أن نكون قد وفقنا في عرض نبذة مختصرة عن كيفية حل المسائل المتعلقة بالمعدلات المرتبطة بالزمن ، حيث تتبين لنا أهميتها عند استعمالها في التطبيقات الحياتية من مثل التطبيقات الاقتصادية مثل معدل إزدياد الربح لشركة ما مع مرور الزمن أو معدل خسارتها، وكذلك استخدامها في التطبيقات الصناعية والعمرانية المختلفة مثل تقدير سرعة بناء مصنع مع مرور الزمن ، وتستعمل كذلك في التطبيقات الفضائية مثل معدل اقتراب أو ابتعاد الكواكب والنجوم من بعضها البعض مع مرور الزمن ، بالإضافة الى العديد من التطبيقات العملية الاخرى .
وهذه مجموعة من الملاحظات التي يجب أن تؤخذ بعين الاعتبار عند حل المسائل :
1 – في جميع مسائل هذا الموضوع توجد حركة ومن الامثلة عليها :
(( يسير رجل على الأرض، يتسرب الماء من مخروط ، يصب الماء في وعاء أسطواني، ينزلق سلم متكئ على الحائط، …. ))
2 – في جميع مسائل هذا النوع هنالك كلمة سرعة أو معدل تغير: حيث ان كل منهما تعني المشتقة الأولى بالنسبة للزمن .
3 – أولاً :اذا نتج عن الحركة زيادة في قيمة التغير :نعتبر معدل التغير موجب.
ثانيا ً :اذا نتج عن الحركة نقصان في قيمةالتغير:نعتبر معدل التغير سالب.
4 – هذا الموضوع يشبه التطبيقات الفيزيائية من حيث أن كل منهما تطبيق على الاشتقاق بالنسبة للزمن وفي كل منهما حركة .الا أن العلاقة الرياضية في التطبيقات الفيزيائية تكون معطاه ، وفي هذا الموضوع تكون المسألة بصورة انشائية والعلاقة الرياضية الأساسية غير معطاه ، و أهم مرحلة في السؤال هو تكوين العلاقة الرياضية.
5 – في أغلب المسائل يجب أن تكون العلاقة الرئيسية تحتوي متغيرين بالضبط و قد يكونان في نفس الطرف وقد يكونان في طرفين مختلفين.
6 – وفي بعض العلاقات الرياضية يوجد 3 متغيرات حيث يمكن نختزلها بتكوين معادلة جانبية تساعد في تقليل عدد المتغيرات في العلاقة الرئيسية من 3 الى 2. 7– وهنالك رموز في المسألة لها دلالات مختلفة منها :
: تعني السرعة : معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن.
: معدل تغير الحجم بالنسبة للزمن : سرعة نقصان أو زيادة الحجم.
: معدل تغير الزاوية بالنسبة للزمن : سرعة نقصان أو زيادة الزاوية.