الوسم: المصفوفات

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين و فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت من درجة ، و من درجة ، وتكون مصفوفة حاصل الضرب من درجة . ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات ، و، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة . من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتين.

في العملية يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

.
أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر i والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب ، يجب حساب الجداء الداخلي للمتجهين المكوّنين من السطر i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية :

إذ يتحقّق:

خواص الضرب العادي
ليست عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية عمومًا، وإن كانت العملية التبديلية معرّفة. أي:
.
أحد الاستثنائات بالنسبة للخاصة السابقة هي كون المصفوفتين قطريتين، إذ عندها تكون عملية الضرب تبديلية.
إذا كانت المصفوفتان A وB مربّعتين، يتحقّق:

أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.
إنّ عملية ضرب المصفوفات هي عملية تجميعية، إذ:
.
إنّ عملية ضرب المصفوفات هي عملية توزيعية، إذ:
،